教你在 Java 中实现 Dijkstra 最短路算法的方法

定义

最短路问题的定义为：

下图左侧是一幅带权有向图，以顶点 0 为起点到各个顶点的最短路径形成的最短路径树如下图右侧所示：

带权有向图的实现

在实现最短路算法之前需要先实现带权有向图。在上一篇博客 《如何在 Java 中实现最小生成树算法》 中我们实现了带权无向图，只需一点修改就能实现带权有向图。

带权有向边

首先应该实现带权有向图中的边 DirectedEdge，这个类有三个成员变量：指出边的顶点 v、边指向的顶点 w 和边的权重 weight。代码如下所示：

package com.zhiyiyo.graph;
/**
* 带权有向边
*/
public class DirectedEdge {
  int v, w;
  double weight;
  public DirectedEdge(int v, int w, double weight) {
      this.v = v;
      this.w = w;
      this.weight = weight;
  }
  public int from() {
      return v;
  public int to() {
      return w;
  public double getWeight() {
      return weight;
  @Override
  public String toString() {
      return String.format("%d->%d(%.2f)", v, w, weight);
}

带权有向图

带权有向图的实现非常简单，只需将带权无向图使用的 Edge 类换成 DirectedEdge 类，并作出少许调整即可：

package com.zhiyiyo.graph;
import com.zhiyiyo.collection.stack.LinkStack;
import com.zhiyiyo.collection.stack.Stack;
public class WeightedDigraph {
  private final int V;
  protected int E;
  protected LinkStack<DirectedEdge>[] adj;
  public WeightedDigraph(int V) {
      this.V = V;
      adj = (LinkStack<DirectedEdge>[]) new LinkStack[V];
      for (int i = 0; i < V; i++) {
          adj[i] = new LinkStack<>();
      }
  }
  public int V() {
      return V;
  }
  public int E() {
      return E;
  }
  public void addEdge(DirectedEdge edge) {
      adj[edge.from()].push(edge);
      E++;
  }
  public Iterable<DirectedEdge> adj(int v) {
      return adj[v];
  }
  public Iterable<DirectedEdge> edges() {
      Stack<DirectedEdge> edges = new LinkStack<>();
      for (int v = 0; v < V; ++v) {
          for (DirectedEdge edge : adj(v)) {
              edges.push(edge);
          }
      }
      return edges;
  }
}

最短路算法

API

最短路算法应该支持起始点 \(v_s\) 到任意顶点 \(v_t\) 的最短距离和最短路径的查询：

package com.zhiyiyo.graph;
import com.zhiyiyo.collection.stack.LinkStack;
import com.zhiyiyo.collection.stack.Stack;
public class WeightedDigraph {
  private final int V;
  protected int E;
  protected LinkStack<DirectedEdge>[] adj;
  public WeightedDigraph(int V) {
      this.V = V;
      adj = (LinkStack<DirectedEdge>[]) new LinkStack[V];
      for (int i = 0; i < V; i++) {
          adj[i] = new LinkStack<>();
      }
  }
  public int V() {
      return V;
  public int E() {
      return E;
  public void addEdge(DirectedEdge edge) {
      adj[edge.from()].push(edge);
      E++;
  public Iterable<DirectedEdge> adj(int v) {
      return adj[v];
  public Iterable<DirectedEdge> edges() {
      Stack<DirectedEdge> edges = new LinkStack<>();
      for (int v = 0; v < V; ++v) {
          for (DirectedEdge edge : adj(v)) {
              edges.push(edge);
          }
      return edges;
}

Dijkstra 算法

我们可以使用一个距离数组 distTo[] 来保存起始点 \(v_s\) 到其余顶点 \(v_t\) 的最短路径，且 distTo[] 数组满足以下条件：

可以使用 Double.POSITIVE_INFINITY 来表示无穷大，有了这个数组之后我们可以实现 ShortestPath 前两个方法：

package com.zhiyiyo.graph;
public class DijkstraSP implements ShortestPath {
  private double[] distTo;
  @Override
  public double distTo(int v) {
      return distTo[v];
  }
  public boolean hasPathTo(int v) {
      return distTo[v] < Double.POSITIVE_INFINITY;
}

为了实现保存 \(v_s\) 到 \(v_t\) 的最短路径，可以使用一个边数组 edgeTo[]，其中 edgeTo[v] = e_wv 表示要想到达 \(v_t\)，需要先经过顶点 \(v_w\)，接着从 edgeTo[w]获取到达 \(v_w\) 之前需要到达的上一个节点，重复上述步骤直到发现 edgeTo[i] = null，这时候就说明我们回到了 \(v_s\)。 获取最短路径的代码如下所示：

@Override
public Iterable<DirectedEdge> pathTo(int v) {
  if (!hasPathTo(v)) return null;
  Stack<DirectedEdge> path = new LinkStack<>();
  for (DirectedEdge e = edgeTo[v]; e != null; e = edgeTo[e.from()]) {
      path.push(e);
  }
  return path;
}

算法流程

虽然我们已经实现了上述接口，但是如何得到 distTo[] 和 edgeTo[] 还是个问题，这就需要用到 Dijkstra 算法了。算法的思想是这样的：

• 初始化 distTo[] 使得除了 distTo[s] = 0 外，其余的元素都为 Double.POSITIVE_INFINITY。同时初始化 edgeTo[] 的每个元素都是 null；
• 将顶点 s 的所有相邻顶点 \(v_j\) 加入集合 \(V'\) 中，设置 distTo[j] = l_sj 即初始化最短距离为邻边的权重；
• 从 \(V'\) 中取出距离最短即 distTo[m] 最小的顶点 \(v_m\)，遍历 \(v_m\) 的所有邻边 \((v_m, v_w)\)，如果有 \(l_{mw}+l_{sw}<l_{sw}\)，就说明从 \(v_s\) 走到 \(v_m\) 再一步走到 \(v_w\) 距离最短，我们就去更新 distTo[m]，同时将 \(v_w\) 添加到 \(V'\) 中（如果 \(v_w\) 不在的话）；

重复上述过程直到 \(V'\) 变为空，我们就已经找到了所有 \(v_s\) 可达的顶点的最短路径。

上述过程中有个地方会影响算法的性能，就是如何从 \(V'\) 中取出最小距离对应的顶点 \(v_m\)。如果直接遍历 \(V'\) 最坏情况下时间复杂度为 \(O(|V|)\)，如果换成最小索引优先队列则可以将时间复杂度降至 \(O(\log|V|)\)。

最小索引优先队列

上一篇博客 《如何在 Java 中实现最小生成树算法》 中介绍了最小堆的使用，最小堆可以在对数时间内取出数据集合中的最小值，对应到最短路算法中就是最短路径。但是有一个问题，就是我们想要的是最短路径对应的那个顶点 \(v_m\)，只使用最小堆是做不到这一点的。如何能将最小堆中的距离值和顶点进行绑定呢？这就要用到索引优先队列。

索引优先队列的 API 如下所示，可以看到每个元素 item 都和一个索引 k 进行绑定，我们可以通过索引 k 读写优先队列中的元素。想象一下堆中的所有元素放在一个数组 pq 中，索引优先队列可以做到在对数时间内取出 pq 的最小值。

package com.zhiyiyo.collection.queue;
/**
* 索引优先队列
*/
public interface IndexPriorQueue<K extends Comparable<K>> {
  /**
   * 向堆中插入一个元素
   *
   * @param k 元素的索引
   * @param item 插入的元素
   */
  void insert(int k, K item);
   * 修改堆中指定索引的元素值
   * @param item 新的元素值
  void change(int k, K item);
   * 向堆中插入或修改元素
  void set(int k, K item);
   * 堆是否包含索引为 k 的元素
   * @param k 索引
   * @return 是否包含
  boolean contains(int k);
   * 弹出堆顶的元素并返回其索引
   * @return 堆顶元素的索引
  int pop();
   * 弹出堆中索引为 k 为元素
   * @return 索引对应的元素
  K delete(int k);
   * 获取堆中索引为 k 的元素，如果 k 不存在则返回 null
   * @return 索引为 k 的元素
  K get(int k);
   * 获取堆中的元素个数
  int size();
   * 堆是否为空
  boolean isEmpty();
}

实现索引优先队列比优先队列麻烦一点，因为需要维护每个元素的索引。之前我们是将元素按照完全二叉树的存放顺序进行存储，现在可以换成索引，而元素只需根据索引值 k 放在数组 keys[k] 处即可。只有索引数组 indexes[] 和元素数组 keys[] 还不够，如果我们想实现 contains(int k) 方法，目前只能遍历一下 indexes[]，看看 k 在不在里面，时间复杂度是 \(O(|V|)\)。何不多维护一个数组 nodeIndexes[]，使得它满足下述关系：

如果能在 nodeIndexes[k] 不是 -1，就说明索引 \(k\) 对应的元素存在与堆中，且索引 k 在 indexes[] 中的位置为 \(d\)，即有下述等式成立：

有了这三个数组之后我们就可以实现最小索引优先队列了：

package com.zhiyiyo.collection.queue;
import java.util.Arrays;
import java.util.NoSuchElementException;
/**
* 最小索引优先队列
*/
public class IndexMinPriorQueue<K extends Comparable<K>> implements IndexPriorQueue<K> {
  private K[] keys;           // 元素
  private int[] indexes;      // 元素的索引，按照最小堆的顺序摆放
  private int[] nodeIndexes;  // 元素的索引在完全二叉树中的编号
  private int N;
  public IndexMinPriorQueue(int maxSize) {
      keys = (K[]) new Comparable[maxSize + 1];
      indexes = new int[maxSize + 1];
      nodeIndexes = new int[maxSize + 1];
      Arrays.fill(nodeIndexes, -1);
  }
  @Override
  public void insert(int k, K item) {
      keys[k] = item;
      indexes[++N] = k;
      nodeIndexes[k] = N;
      swim(N);
  public void change(int k, K item) {
      validateIndex(k);
      swim(nodeIndexes[k]);
      sink(nodeIndexes[k]);
  public void set(int k, K item) {
      if (!contains(k)) {
          insert(k, item);
      } else {
          change(k, item);
      }
  public boolean contains(int k) {
      return nodeIndexes[k] != -1;
  public int pop() {
      int k = indexes[1];
      delete(k);
      return k;
  public K delete(int k) {
      K item = keys[k];
      // 交换之后 nodeIndexes[k] 发生变化，必须先保存为局部变量
      int nodeIndex = nodeIndexes[k];
      swap(nodeIndex, N--);
      // 必须有上浮的操作，交换后的元素可能比上面的元素更小
      swim(nodeIndex);
      sink(nodeIndex);
      keys[k] = null;
      nodeIndexes[k] = -1;
      return item;
  public K get(int k) {
      return contains(k) ? keys[k] : null;
  public K min() {
      return keys[indexes[1]];
  /**
   * 获取最小的元素对应的索引
   */
  public int minIndex() {
      return indexes[1];
  public int size() {
      return N;
  public boolean isEmpty() {
      return N == 0;
   * 元素上浮
   *
   * @param k 元素的索引
  private void swim(int k) {
      while (k > 1 && less(k, k / 2)) {
          swap(k, k / 2);
          k /= 2;
   * 元素下沉
  private void sink(int k) {
      while (2 * k <= N) {
          int j = 2 * k;
          // 检查是否有两个子节点
          if (j < N && less(j + 1, j)) j++;
          if (less(k, j)) break;
          swap(k, j);
          k = j;
   * 交换完全二叉树中编号为 a 和 b 的节点
   * @param a 索引 a
   * @param b 索引 b
  private void swap(int a, int b) {
      int k1 = indexes[a], k2 = indexes[b];
      nodeIndexes[k2] = a;
      nodeIndexes[k1] = b;
      indexes[a] = k2;
      indexes[b] = k1;
  private boolean less(int a, int b) {
      return keys[indexes[a]].compareTo(keys[indexes[b]]) < 0;
  private void validateIndex(int k) {
          throw new NoSuchElementException("索引" + k + "不在优先队列中");
}

注意对比最小堆和最小索引堆的 swap(int a, int b) 方法以及 less(int a, int b) 方法，在交换堆中的元素时使用的依据是元素的大小，交换之后无需调整 keys[]，而是交换 nodeIndexes[] 和 indexes[] 中的元素。

实现算法

通过上述的分析，实现 Dijkstra 算法就很简单了，时间复杂度为 \(O(|E|\log |V|)\)：

package com.zhiyiyo.graph;
import com.zhiyiyo.collection.queue.IndexMinPriorQueue;
import com.zhiyiyo.collection.stack.LinkStack;
import com.zhiyiyo.collection.stack.Stack;
import java.util.Arrays;
public class DijkstraSP implements ShortestPath {
  private double[] distTo;
  private DirectedEdge[] edgeTo;
  private IndexMinPriorQueue<Double> pq;
  private int s;
  public DijkstraSP(WeightedDigraph graph, int s) {
      pq = new IndexMinPriorQueue<>(graph.V());
      edgeTo = new DirectedEdge[graph.V()];
      
      // 初始化距离
      distTo = new double[graph.V()];
      Arrays.fill(distTo, Double.POSITIVE_INFINITY);
      distTo[s] = 0;
      visit(graph, s);
      while (!pq.isEmpty()) {
          visit(graph, pq.pop());
      }
  }
  private void visit(WeightedDigraph graph, int v) {
      for (DirectedEdge edge : graph.adj(v)) {
          int w = edge.to();
          if (distTo[w] > distTo[v] + edge.getWeight()) {
              distTo[w] = distTo[v] + edge.getWeight();
              edgeTo[w] = edge;
              pq.set(w, distTo[w]);
          }
  // 省略已实现的方法 ...
}

后记

Dijkstra 算法还能继续优化，将最小索引堆换成斐波那契堆之后时间复杂度为 \(O(|E|+|V|\log |V|)\)，这里就不写了（因为还没学到斐波那契堆），以上~~

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原文链接：https://www.cnblogs.com/zhiyiYo/p/16114828.html